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By Denisenko V. V.

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Xn−i , entsprechend z x x z hi+1 (Xi+1 ), . . , hn (Xn ) wie hi+1 (X1 ), . . , hn (Xn−i ). Es ist also zu vermuten, daß das Maximale, welches sich durch das Stoppen von z ), . . , hn (Xnz ) bei gegebenen Xiz (ω) = x erreichen l¨aßt, gerade gleich hi+1 (Xi+1 x dem Maximalen ist, welches durch das Stoppen von hi+1 (X1x ), . . , hn (Xn−i ) erreicht werden kann. 48 4. Amerikanische Claims und optimales Stoppen Zur exakten Formulierung wird f¨ ur i = 0, . . , n − 1, k = 1, . . , n − i in Abh¨angigkeit von z ∈ E definiert wik (z) = sup τ ∈S,1≤τ ≤k Ehi+τ (Xτz ).

N . Dabei ∼ gibt Zi die Auszahlung an, die der Inhaber bei Aus¨ ubung zum Zeitpunkt i erh¨alt. Aus¨ ubungsstrategien sind Stopzeiten τ : Ω → {0, . . , n} bzgl. der im Modell vorliegenden Filtration. Zu jeder solchen Strategie τ geh¨ort der Claim Z , τ ) = (Z0 1{τ =0} , Z1 1{τ =1} , . . , Zn 1{τ =n} ), und ihre Anwendung erbringt f¨ C(∼ ur den Inhaber des amerikanischen Claims als Gesamtauszahlung und diskontierte Gesamtauszahlung n Zτ = i=0 n Zi 1{τ =i} und Bτ Zτ = i=0 Bi Zi 1{τ =i} . 2 Preisfestsetzung fu ¨ r einen amerikanischen Claim Z sei ein amerikanischer Claim in einem arbitragefreien n-Perioden-Modell.

Dabei seien Y1 , . . , Yn stochastisch unabh¨angige, {0, 1} × {0, 1}-wertige ur alle i, j = 0, 1, wobei 0 < pij < 1 Zufallsvariablen mit P (Yk = (i, j)) = pij f¨ k gelte. Sei Zk = i=1 Yi , k = 1, . . , n, mit Z0 = 0. Der Kurs der Aktien ist definiert durch Z k−Zk,1 A1k = u1 k,1 d1 Z k−Zk,2 , A2k = u2 k,2 d2 , k = 0, 1, . . , n, wobei 0 < d1 < u1 , 0 < d2 < u2 gelte. Der Kurs der Anleihe ist (1 + ρ)k f¨ ur k = 0, 1, . . , n. (a) Geben Sie f¨ ur max{d1 , d2 } ≥ 1 + ρ bzw. min{u1, u2 } ≤ 1 + ρ eine Arbitrage an.

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